☛ Raisonnement par disjonction de cas

Énoncé
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) est un entier.

Solution
On va procéder par disjonction de cas :

• le cas \(n\) pair ;
  
• le cas \(n\) impair.
  

\(\boldsymbol {n}\) pair
\(n\) étant pair, il existe un nombre entier \(k\) tel que \(n=2k\).
On a alors \(\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{2k(2k+1)}{2}=k(2k+1)\).
\(k(2k+1)\) est bien un nombre entier.

\(\boldsymbol {n}\) impair
\(n\) étant impair, il existe un nombre entier \(k\) tel que \(n=2k+1\).
On a alors \(\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{(2k+1)(2k+1+1)}{2}=\dfrac{(2k+1)(2k+2)}{2}=\dfrac{2(k+1)(2k+1)}{2}=(k+1)(2k+1)\) 
\((k+1)(2k+1)\) est bien un nombre entier.